Page 438 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 438

● H f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, e]
● H f είναι γνησίως φθίνουσα στο [e, + )
● H f παρουσιάζει μέγιστο στη θέση χ= e, με τιμή f(e)=e - 1

β)
Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [e, + ), τότε
χ<χ+2017 και για κάθε χ > e
lnx ln(x+2017)
f(x) > f(x+2017) ` >
x+2017
` (x+2017) lnx > ln(x+2017)

` lnx x+2017 > ln(x+2017)

ln
` x x+2017 >(x+2017) χ

γ)
Η f είναι συνεχής στο (0, + ),

γνησίως αύξουσα στο (0, e] και
γνησίως φθίνουσα στο [e, + ),
συνεπώς
● f((0, e])=( lim f(x), f(e)]=(- , e ] αφού
1
x 0
lnx 1
lim f(x)= lim = lim lnx =-
x 0 x 0 x 0
1
● f([e, + ))=( lim f(x), f(e)]=(0 , e ] αφού
x +
lnx 1
lim f(x)= lim = lim = 0
x + x + x +
Άρα,
f((0, + ))= f((0, e]) f([e, + ))=(- , e ] (0 , e ] (- , e ]
1
-1
1

δ)
Για κάθε χ>0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017