Page 432 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 432

13. ΕΠΙΛΟΓΗΣ
1
2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x ημ , x 0
x
0 , x = 0

Να αποδείξετε ότι
α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο x=0 και στη συνέχεια ότι η
στο σημείο
ευθεία y = 0 είναι η εφαπτομένη της C f
Ο(0, 0)
β) Ο άξονας x΄x έχει με την C f άπειρα κοινά σημεία, παρό-

λο που εφάπτεται της C f

γ) Η ευθεία y=x είναι ασύμπτωτη της C f στο + και - .

α)
1
2
f(x)-f(0) x ημ x
lim = lim
x 0 x-0 x 0 x
1
= lim x ημ (1)
x 0 x
Όμως
1 1
x× ημ = |x| ημ |x|~
x x
1
|x| x× ημ |x|
x
Αφού
lim (-| χ|)= 0 = lim | χ|,
x 0 x 0
α π ό κριτηριο της παρεμβολης:
1
lim x ημ = 0
x 0 x

f(x)-f(0)
(1)~ lim = 0 ~ f'(0) = 0
x 0 x-0
Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Ο(0, 0) είναι
y–f(0)=f'(0)(x-0)` y = 0

β)

Τα κοινά σημεία της C f με τον x'x είναι οι ριζες της εξίσω-
σης

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017