Page 425 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 425

● Αν x > 0 τότε
φ”(x) > 0~φ' είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + )
Για x > 0 ~φ'(χ)>φ'(0)=0~φ'(χ)>0
Δηλαδή
● η φ είναι γνησίως αύξουσα στο [0, + )
● e - 1 > 0 ή f” ( x) > 0
x
● Όμοια για x < 0 βρισκουμε f” ( x) > 0

επειδή f συνεχής στο και f” ( x) > 0 στο (- ,0) (0, + )
η f στρέφει τα κοίλα άνω στο

στ)
f' συνεχής στο και f” ( x) > 0 για κάθε x 0, άρα
f' γνησίως αύξουσα στο
e 2x -2xe -1 0-2× 0-1
x
● lim f'(x) = lim = = - 1
x
x - x - (e -1) 2 (0-1) 2
-
x + 1
x
αφού lim xe x = lim = lim = - lim e = 0
x - x - e - x x - - e - x x -
e 2x -2xe -1 e 2x -2xe -1
x
x
● lim f΄(x) = lim = lim =
x
x
x + x + (e -1) 2 x + e 2x -2e +1
x 1
e 2x ×(1-2 - )
= lim e x e 2x = 1-2× 0-0 = 1
x + 2 1 1-0+0
e 2x ×(1- + )
e x e 2x
+
x + x' 1
αφού lim = lim = lim = 0
x
x + e x x + (e )' x + e x
● Η f' είναι συνεχής για x 0 ( πηλίκο συνεχών )
● στο x = 0
0 0
x
x
x
e 2x -2xe -1 0 e -1-x 0 e -1
limf'(x)= lim = lim = lim = 0
x
x
x 0 x 0 (e -1) 2 x 0 e -1 x 0 e x
= f'(0)
Άρα η f' συνεχής στο 0

Τελικά, η f' είναι συνεχής στο και το σύνολο τιμών της θα
είναι το σύνολο :
f'( )=( lim f'(x), lim f'(x) ) = (- 1, 1)
x - x +

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017