Page 156 - olokliroma

156
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπο
f(x)=x 2 και g(x)=4x-3 .
Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τις

C f , C g , τον άξονα χ’χ και τις ευθείες χ=0, χ=2.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

με τύπο
h(x)=f(x)-g(x)=

=x -4x+3
2

● Η h είναι συνεχής στο
διάστημα [0, 2] σαν

πολυωνυμική.

● Οι ρίζες της h(x)=0`

x -4x+3=0 είναι
2
ρ 1=1 και ρ 2=3

● ρ 1, ρ 2 [0, 2]
● Η h είναι

αρνητική για 1<χ<3 και

θετική για χ<1 ή χ>3

δηλαδή

● h(x)>0 στο διάστημα [0, 1] και

1 1 2 1 x 3 2
0 h(x) dx= 0 (x -4x+3) dx= ( -2x +3x )' dx
0 3

x 3 1 4
= [ -2x 2 +3x ] 1 = -2+3-0=
0
3 3 3
● h(x)<0 στο διάστημα [1, 2] και

2 2 2 x 3
2
1 h(x) dx= 1 (x -4x+3) dx= 1 ( 3 -2x 2 +3x )' dx

x 3 2 3 1 2
= [ -2x 2 +3x ] 2 = -2× 2 2 +3× 2-( -2+3)=-
3 1 3 3 3

Άρα

1 2 4 2 4 2
Ε(Ω) = h(x) dx- h(x) dx= -(- )= + = 2 τ.μ.

0 1 3 3 3 3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017