Page 160 - olokliroma

160
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπο
f(x)=x 2 και g(x)=4x-3 .
Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τις

C f , C g , τον άξονα χ’χ και τις ευθείες χ=2, χ=4.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

με τύπο

h(x)=f(x)-g(x)=
=x -4x+3

2
● Η h είναι συνεχής στο

διάστημα [2, 4] σαν

πολυωνυμική.

● Οι ρίζες της h(x)=0`
x -4x+3=0 είναι
2

ρ 1=1 και ρ 2=3

● ρ 2 [2, 4]

● Η h είναι

αρνητική για 1<χ<3 και

θετική για χ<1 ή χ>3

δηλαδή

● h(x)<0 στο διάστημα [2, 3] και
3 h(x) dx= 3 (x -4x+3) dx= 3 ( x 3 -2x 2 +3x)' dx
2
2 2 2 3
3
= [ x -2x 2 +3x ] 3
3 2
3 3 2 3 2
= -2 3 2 +9-( -2× 2 2 +3× 2)=-
3 3 3

● h(x)>0 στο διάστημα [3, 4] και
4 4 4 x 3
h(x) dx= (x -4x+3) dx= 3 3 -2x 2 +3x)' dx
(
2

3 3
=[ x 3 -2x 2 +3x] 4 = 4 3 -2 4 2 +12-0= 4
3 3 3 3

Άρα
3 4 2 4 2 4
Ε(Ω) =- h(x) dx+ h(x) dx=- (- )+ = + = 2 τ.μ.
2 3 3 3 3 3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017