Page 165 - olokliroma

165
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τύπο
f(x)=2εφx× συνx και g(x)=ημx.
Nα βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλεί εται από τη

C f , τον άξονα χ’χ και τις ευθείες χ= π , χ= 3π .
3 2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

με τύπο

h(x)=f(x)-g(x)=

= 2εφxσυνx-ημx
= 2 ημxσυνx -ημx
συνx
= ημx

● Η h είναι συνεχής στο
π 3π
διάστημα [ , ]

3 2

(ημίτονο)
● Οι ρίζες της h(x)=0`

ημx=0 είναι ρ=π

● ρ [ , π 3π ]
3 2

● Η h είναι θετική για < x< π και αρνητική για π< x< 3

3 2
δηλαδή

● h(x)>0 στο διάστημα [ ,π] και

3
π π π
h(x) dx= ημx dx = (- συνx)' dx =[- συνx] π
π π π π
3 3 3 3

=- συνπ+συν π =- (-1)+ 1 = 3
3 2 2

● h(x)<0 στο διάστημα [ ,π] και

3
3π 3π 3π 3π
2 h(x) dx= 2 ημx dx = 2 (- συνx)' dx =[- συνx] 2
π π π π
=- συν 3π +συνπ= 0+1= 1
2
Άρα

3π
π 3 1
Ε(Ω) = π h(x) dx- 2 h(x) dx= -1= τ.μ.

3 π 2 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017