Page 51 - olokliroma

51
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

● Αν τα όρια ολοκλήρωσης
ε ί ναι αντίθετοι αριθμοί και

η συνάρτηση f είναι άρτια
τότε
α α
f(x)dx 2 f(x)dx
-α 0
● Αν τα όρια ολοκλήρωσης

είναι αντίθετοι αριθμοί και
η συνάρτηση g είναι πε-
ριττή, τότε
α
g(x)dx 0
-α
(σχήμα)

β
● Αν ισχύει f(x)dx 0 για
α
κάθε χ [α, β], τότε υπάρχει
ένα τουλάχιστον χ 0 (α, β):
f(x 0)>0
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Aν G μια αρχική της f, τότε
β
f(x)dx G(β)-G(α)> 0 (1)
α
αφού β-α>0 η (1) γίνεται
G(β)-G(α)
>0 (2)

Η G είναι παραγωγίσιμη στο
(α, β), γιατί G'(x)=f(x) (3)
συνεπώς και συνεχής, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ.

και υπάρχει χ 0 (α, β):
G(β)-G(α) (3)
G'(x ) `
0

G(β)-G(α) (2)
f(x ) `
0

f(x ) 0
0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017