Page 53 - olokliroma

53
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

● Αν ισχύει
β
● f(x)dx 0
α
γ
● f(x)dx 0
β
● α<β<γ
τότε υπάρχει ένα τουλάχι-

στον χ 0 (α, γ):
f(x 0)=0
ΑΠΟΔΕΙΞΗ

β
● f(x)dx 0... τότε υπάρ-
α
χει ένα τουλάχιστον

χ 1 (α, β): f(x 1)<0
γ
● f(x)dx 0... τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 2 (β, γ):
β
f(x 2)>0
Δηλαδή, f(x 1) f(x 2)<0 και αφού η f είναι συνεχής στο διά-
στημα [χ 1, χ 2] [α, γ], ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήμα -

τος Bolzano και υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 (α, γ):
f(x 0)=0

● Αν ισχύει

β δ
● f(x)dx f(x)dx
α γ
● α<β<γ<δ και β-α=δ-γ
τότε υπάρχει ένα τουλάχι-
στον χ 1 (α, β) και ένα του-

λάχιστον χ 2 (γ, δ), ώστε:
f(x 1)= f(x 2)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Aν G μια αρχική της f, τότε
β δ
f(x)dx f(x)dx `
α γ
G(β)-G(α)= G(δ)-G(γ)

και αφού β-α 0 και δ-γ 0
η τελευταία γίνεται
G(β)-G(α) G(δ)-G(γ)
= (1)

Η G είναι παραγωγίσιμη στα (α, β),(γ, δ) γιατί G'(x)=f(x) (2)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017