Page 50 - olokliroma

50
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτηση
x
F(x)= f(t)dt είναι μια παράγουσα της f στο [α, β].
α
Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], θα υπάρχει
c τέτοιο, ώστε

G(x)=F(x)+c. (1)
Από την (1), για x , έχουμε
α
G(α)= F(α)+c= f(t)dt+c= c, οπότε c=G(α).
α
Επομένως,
G(x)=F(x)+G(α),
και, για x , έχουμε

β
G(β)= F(β)+G(α)= f(t)dt+G(α)
α
άρα

β
f(t)dt= G(β)-G(α).
α

ΣΧΟΛΙΑ

● Συνήθως, για να απλο-
ποιήσουμε τις εκφράσεις
μας, συμβολίζουμε τη δι-
αφορά G(β)-G(α) με
[G(x)] , οπότε η ισότητα
β
α
του παραπάνω θεωρήμα-
τος γράφεται
β
f(x)dx=[G(x)]
β
α α
● Εποπτικά, στο διπλανό
σχήμα, έχουμε τις συν-
αρτήσεις
1
G(x)= χ 3 3χ 2 x 2 και f(x)=x -6x+1
2
3
και παρατηρούμε ότι
η διαφορά G(β)-G(α) είναι ίση με το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείται από το γράφημα της συνάρτησης f, τον άξονα
των χ και τις ευθείες χ=-1,3 και χ=-0,7

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017