Page 28 - Matematika Integral

Telah kita ketahui jika fungsi f kontinu dalam interval tetutup [a, b] maka luas daerah
b

di bawah kurva y = f(x) dalam [a, b] adalah L = f(x) dx . Masalahnya bagaimana kita
a
b

dapat menghitung nilai dari f(x) dx ?
a
Perhatikan yang berikut ini :

y = f(x) Andaikan :
b
T V L(b) =  0 f ( x) dx
U W a
L(a) =  0 f ( x) dx
Jika c sembarang bilangan dalam
f(c) f(c+h) [a, b], maka :

c
P Q L(c) =  f ( x) dx
O a c c+h b 0 c h
L(c+h) =  0 f ( x) dx

Pada gambar di atas terlihat bahwa :
Luas PQWU < Luas PQVU < Luas PQVT
Luas PQWU = f(c) . h
Luas PQVU = L(c+h) – L(c)
Luas PQVU = f(c+h) . h, sehingga diperoleh
f(c) . h < L(c+h) – L(c) < f(c+h) . h dan jika ketiga ruas dibagi dengan h diperoleh
L( c  h)  L( c)
f(c) < < f(c+h) dan jika h  0 didapatkan
h
limit L(  h)  L( c)
c
h  0 h = f(c).
limit L(  h)  L( c)
c
Karena bentuk = f(c) berlaku untuk setiap c dalam interval
h  0 h
limit L(  h)  L( x)
x
tertutup [a, b], maka untuk setiap x dalam [a, b] berlaku =
h  0 h
f(x) atau L‘(x) = f(x).

Karena L‘(x) = f(x). maka L(x) = f ( x) dx .

Andaikan invers derivatif dari f dalah F maka f ( x) dx = F(x) + C, sehingga L(x) =
F(x) + C
Karena L(x) = F(x) + C, maka L(b) = F(b) + C dan L(a) = F(a) + C.
Luas daerah dibawah kurva y = f(x) dalam [a, b] adalah L = L(b) – L(a)
= F(b) + C – {F(a) + C) =
F(b) – F(a)
b

Jadi, f(x) dx = F(b) – F(a)
a

b

Jika anti (invers) turunan dari f adalah F, maka f(x) dx = F(b) – F(a)
a

Contoh 1
18