Page 34 - Matematika Integral

2
= ∫ a 1 (  cos 2 ) d
2
a 2
= ∫ ( 1 + cos 2 ) d
2
a 2 1
= (  + sin 2 ) + C
2 2
a 2
= (  + sin  . cos  ) + C ........ (1)
2
Oleh karena x = a sin , hubungan yang didapat adalah :
2
x a  x 2
sin  = , sehingga cos  = ......................(2)
a a
x x
Selanjutnya x = a sin , sin  = ,  = arc sin .............. (3)
a a
Hasil (2) dan (3) jika disubtitusi ke persamaan (1) menjadi :
a 2
∫ a  x dx = (  + sin  . cos  ) + C
2
2
2
2
a 2 x x a  x 2
= (arc sin + . ) + C
2 a a a
a 2 x x
2
2
= arc sin + . a  x + C
2 a 2
Jadi :
a 2 x x
∫ a  x dx = arc sin + . a  x + C
2
2
2
2
2 a 2

Contoh :
4 x x


2
2
1. ∫ 4 x dx = arc sin + . 4 x + C
2 2 2
x
2

2. ∫ 16 x dx = ....... arc sin ...... + . .......... ..... + C
2
3 9  x x 2  3
2
3.  9 - x dx =  arc sin  x - 9 
0  2 3 2 0 
 9 3 3   9 0 0 
=  arc sin  9  9  –  arc sin  9  0 
 2 3 2   2 3 2 
 9   9 
=  arc sin 1   0 –  arc sin 0   0
 2   2 
9  9
= . + 0 – 0 =
2 2 4
4  x  4
2
4.  16 - x dx = ...... arc sin ...... ......... 

0  2 0 
= ......... arc sin ..... + 0 – 0
= ..... .....
= .....
Catatan
Untuk ∫ a  b 2 x dx dapat dilakukan subtitusi analog seperti di atas yaitu
2
2
asin 
memisalkan x =
b
a 2 bx x
Selanjutnya : ∫ a  b 2 x dx = arc sin + . a  b 2 x + C
2
2
2
2
b 2 a 2
24