Page 120 - 《數學觀念總整理 3-4 》- 2019版

證明：內積的座標表示法

⃑
⃑
○ 從向量表示法開始 ∶ ⃑ ∙ = ⃑ 長度 長度 ∙ cos
1
⃑
if 座標表示法 ∶ ⃑ = ( , ) 、 = ( , ) ，代入向量表示法

⃑

⟹ ⃑ ∙ = + ∙ + ∙ cos

⃑
| ⃑ | = − ⃑
○ 當坐標決定了， 也被決定了
2
= ( − , − )
⃑ )
= ( ,
畫圖，餘弦定理 ∶

⃑

| ⃑ | + − | ⃑ | ⃑ = ( , )
⟹ cos =
⃑
2 ∙ | ⃑ | ∙

⃑

| ⃑ | + − | ⃑ |
⃑
⃑
○ + ○ ⟹ ⃑ ∙ = | ⃑ | ∙ ∙
2
1
⃑
2 ∙ | ⃑ | ∙

( + ) + ( + ) − [( − ) + ( − ) ]

=
2
= + .

⃑
⃑
∴ ⃑ ∙ = | ⃑ | ∙ ∙ cos 向量 = + 坐標

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