Page 111 - основы милогии 1999

bc.iacu М.И. Ооючымилкнн'. 1999 год. С 111
вторых разностей образовать третьи разности и т.д., то на к-м этапе окажется, что все к-ые
разности равны между собой. Обратно, если для некоторой последовательности чисел ее к-ые
разности равны между собой, т о эта последовательность есть арифметический ряд порядка к.
Пользуясь этим свойством, можно строить арифметические ряды различных порядков,
отправляясь от их разностей.
Например, последовательность 1,1,1, ... можно рассматривать как первые разности
последовательности натуральных чисел N
1,2,3,4, (5.1-8)
как вторые разности последовательности треугольных чисел
1,3,6,10,. (5.1-9)
..
как третьи разности последовательности тетраэдрических чисел
1,4,10,20, ...(5.1-10)
Название этих чисел объясняется тем, что треугольные числа выражают число шаров,
уложенных в виде треугольника, а тетраэдрические - в виде тетраэдра (пирамиды).

Рис 5.1-1
Треугольные числа выражаются формулой
„ = ] 2 3
2 ’ Ъ ^5 ^5 ••• (5.1-11)

А тетраэдрические -
±1X^.2) Л = 1 2 3
> AJ — A, A, ...
(5.1-12)
Обобщением треугольных чисел являются к-угольные, или фигурные числа, имеющие
вид л + л = 1, 2, 3, ...
(5.1-13)
при к =3 получаются треугольные числа,
при к=4 - квадратные числа,
при к= 5 -пентагональные числа, и т.д.
Название этих чисел выражают число шаров, расположенных в виде квадрата или
пятиугольника.
Однако арифметический треугольник можно представить и в более общем виде
Р(х) = (1-х)" (5.1-14)
При п=1 мы получим последовательность единиц 1, 1, 1, ..... При п=2 получим
последовательность натуральных чисел (2), при п=3 - последовательность треугольных чисел
(3), при п=4 - последовательность тетраэдрических чисел (4) и т.д.
Рассматривая выражение (8) как бином Ньютона с отрицательным показателем -п,
формально записываем