Page 112 - основы милогии 1999

а также сразу следует формальное соотношение
(Г)=(Г‘)

!м, что с помощью соотношения
р(х) = (1+х+...+хя,-1)л=(:) хг
' 'т (5.1-16)

построить обобщенный арифметический треугольник. Заметим вначале, что
1ьник Паскаля можно получить с помощью рекуррентной формулы

Тогда смысл формулы (5.1-16) заключается в том, что при разложении ряда (5.1-16) по
м х коэффициенты при хг выражают число способов получить сумму г, складывая п
(ых, каждое из которых равно одному из^чцсел (5.1-17)

s (г+1)-е число в (п+1 )-й строке равно т - числу кортежей длины п с суммой
зат г.
1ри т=2 получается таблица биномиальных коэффициентов
(1 + 1)"=(;)2, Г=0,Я (5.1-18)

1ри т=3 - таблица триномиальных коэффициентов

(1 + 1 + 1)" = (;)з, г = 6^ <51-19)
ИТ.Д.
[ри этом в обобщенном арифметическом треугольнике его элементы при т=2к (четное)
гаются так, что числа предшествующей строки находятся над промежутками между
следующей строки. При этом каждое число равно сумме к чисел предыдущей строки,
1ейся слева от него, и к чисел, находящихся справа.
ели же т=2к+1 (нечетное), то числа пишутся друг над другом, а каждое число равно
сходящихся над ним к чисел, расположенных в предыдущей строке слева от него, и к
^положенных в той же строке справа от него.
обеих случаях сумма располагается симметрично относительно слагаемых, а строки
ольника образуют правильные симметрические ряды. Заметим, что если слева или
т искомого числа в предыдущей строке меньше чисел, чем нужно для образования
о недостающие слагаемые полагаются равными нулю.
Данные последовательности арифметических рядов имеют много замечательных
>стей. Главная из этих особенностей заключается в том, что все числа этих рядов
t биномиальными коэффициентами и, кроме того, процесс получения арифметических
I сути дела является операцией разворачивания ряда, образованного разностями
i числовой последовательности 1, 1, 1, 1,...