Page 81 - основы милогии 1999

Al
Тогда любое подмножество множества А
F" :((...(4)хЛ2)х,...,хЛя)= (,
{< ((...(а,)—>а2)—^->,...,—^-эал) >| а, е А„...,ап е A„;At с А2 с ... с А„]

мы будем называть n-арным отображением множества в множество
(2.4-6)
Л = ((...(4)х4)х,...,хД)
г.е. любое подмножество прямого произведения множеств А,МА, i=l,..,n и будет являться
n-арной операцией. Рассмотрим теперь обратное отображение
F" : (А, х(А2 х(,...,х(А)-) = (2 4
{< (а, -^(а2-^,...,-^(ал)...) >| а, е 4,...,ал е Лл;4 z> 4 э ... э А„]

Показатель степени в множестве будем называть рангом n-арной операции. Нетрудно
видеть, что n-арные операции вида (2.33-5), (2.3-7 ) можно получить, используя унарные или
бинарные операции соответствующего вида.
Пример. Пусть f и f1 - унарные операции. Тогда выражения
(2.4-8)

(2.4-9)
следует рассматривать как n-арные операции. Для того, чтобы различать эти операции, п-
арную операцию вида (2.4-9) мы будем называть восходящей n-арной операцией, а п-арную
операцию вида (2.4-8 ) - нисходящей n-арной операцией.
Можно ввести /аксиоматически/ операции, противоположные операциям (2.4-7) и (2.4-8). Тогда
n-арная операция, противоположная восходящей будем записывать в виде:
(2.4-10)
а n-арную операцию, противоположную нисходящей будем записывать как
(2.4-11)
Рассмотрим ещё одну особенность n-арных операций, точнее их основное свойство.
Выше было показано, n-арные операции являются композицией m -арных операций, таких,
что
n=Smj( i=l,2,..,n.
Это означает, что во многих случаях, мы можем производить эквивалентные
преобразования n-арной операции без нарушения функции структуры, т.е. производить
изменения в структуре, без изменения её функции.
Пример. Пусть мы имеем две восходящие n-арные операции
<«а>,Ь>,Об f
<<<a>,d>,c>6 g
Эти два отображения являются эквивалентными между собой по цели т, к. их композиции
являются одинаковыми
f: а->с
g : а-»с
Кроме того, обе эти операции являются одного типа /восходящими/ и имеют один и
тот же ранг операции. Но эти операции могут быть различны по результату т.е. «веса»
операндов, входящих в эти n-арные операции, могут быть различными, В результате такой
декомпозиции n-арной операции, мы будем достигать одну цель, но получать в общем случае
разные результаты.