Page 79 - основы милогии 1999

^я|гР МИ. “№?пмтнн’\)??? гуд. У 79
Менгер, Вальрас ввели в рассмотрение аддитивную функцию полезности
и, (х.) + и1(х2) + ... + и, (хп)„
с помощью которой они вычисляли общее удовлетворение индивидуума, получаемое им
от набора (х,, х2,. . хп); при этом предполагалось, что полезность u, i-ro продукта зависит
только от его количества х.. Более того, они предполагали, что каждая функция и, возрастает
с убывающей скоростью по мере возрастания хг Таким образом, они применили концепцию
убывающей предельной полезности к каждому продукту в отдельности. В конце девятнадцатого
и в начале двадцатого столетия ряд видных экономистов, таких, как Эджеворт, Фишер, Парето
и Слуцкий, предлагали заменить аддитивную функцию полезности на функцию полезности
более общего вида
и(х,,х2, ...,х„Л
Их аргументы сводились к тому, что последняя позволяет учесть взаимозависимость между
продуктами (например, их дополнительность и взаимозаменяемость) и при некоторых
предположениях позволяет объяснить ряд фактов, ранее установленных с помощью аддитивной
функции полезности.
Таким образом, можно сделать вывод, что отношения полезности, имеющие
мультидвойственный смысл, подчиняются в самых разных приложениях одним и тем же
закономерностям.
ФУНКЦИОНАЛБНЫЕ ОТНОШЕНИЯ ИЕРАРХИИ.
2.3.
В иерархических системах не только структура характеризуется отношениями иерархии
и преемственности. Это целиком относится и к функциям иерархических систем.
Отношение R С АХ В называют функциональным, если для каждого х 6 А сечение
R по х содержит не более одного элемента, Если сечение по любому элементу из А содержит
один и только один элемент, то функциональное отношение называют всюду определённым.
Если отношение R1, симметричное к функциональному отношению R С АХ В тоже
функционально, то отношение называется взаимно однозначным.
Для всякого функционального отношения, взаимно однозначного или нет, можно
определить функцию, связанную с этим отношением, как функцию, сечение которой по
каждому х О А либо пусто , либо есть тот элемент множества В, который является элементом
R(x).
Сечение R(x) множества по х 6 А называют образом аргумента х для функции f и
обозначают f(x). Аргумент называют также переменной, a f(x) - значением функции.
Сечение R '(х) множества R по уб В называют прообразом для функции f.
Множество х 6 А, таких, что существует f(x)/R(x) -не пусто, есть область определения, функции,
связанной с R.
Если f всюду определена, т.е. область определения совпадает с А, то говорят, что f есть
отображение множества А в В и пишут
А-^-^В или f\A-+B (2.3-1)
Множества А и В можно выбирать произвольно, например, А может обозначать декартово
произведение СхН. Тогда вместо А-»
В получаем с помощью СхН—>В отображение, при котором упорядоченным парам элементов
из СхН
(Cph,), с,еС, h,eH
ставят в соответствие элементы b из В:
(с,,Ь,)-эЬ, или fCCph,) = b
Такие отображения декартовых произведений в множества называют алгебраическими
опепапиями на множествах А.В......При этом следует иметь ввиду, что и операции являются