Page 39 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

При умножении матриц единичная матрица E играет роль единицы, т.е. AE=EA=A для
любой квадратной матрицы A того же порядка, что и матрица E.
0
m
5 . Возведение в степень. Целой положительной степенью A (m>1) квадратной
матрицы A называется произведение m матриц, равных A:
А
m
A  А   .
 А

m раз

Вопросы для самоконтроля
1. Что называется матрицей? Перечислите виды матриц. Приведите примеры.
2. Как выполняются операции над матрицами?
3. При каком условии можно сложить две матрицы; перемножить две матрицы?

Литература. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998.
Раздел 1. Глава 1.

Лекция 3. Алгебра матриц (продолжение)

Цель лекции. Продолжить изучение операций над матрицами. Дать понятие обратной
матрицы и формулу для ее определения. Ввести понятие ранга матрицы.
Основные вопросы.
1. Обратная матрица
2. Теорема о существовании обратной матрицы
3. Ранг матрицы


1
Определение. Матрица А называется обратной для квадратной матрицы A,
если выполняется равенство АА  А 1 А  Е , где E – единичная матрица.
1
Теорема. Каждая квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, имеет
единственную обратную матрицу. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная
матрица не существует.
Обратную матрицу находят по формуле
1 ~
1

А    А ,
~
где Δ – определитель матрицы A, А – присоединеннаяматрица.
Присоединенной называется матрица, элементами которой являются алгебраические
дополнения А элементов a матрицы A, причем алгебраические дополнения
ij
ij
~
элементов i-ой строки матрицы A образуют i-й столбец матрицы А .
~  А 11 А 21  а 11 а 12 
Например, А    – присоединенная матрица для матрицы А    .




 А 12 А 22   а 21 а 22 
Найдем обратную матрицу для матрицы A, предполагая, что  0.
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A:
A  ( ) 1 а  а , A  ( ) 1 а   а ,
2
3
12
11
21
12
22
22
3
A  ( ) 1 а   а , A  ( ) 1 а  а .
4
21
21
12
11
11
22
Таким образом,
~  а 22  а 12 
А    .


  а 21 а 11 
Обратную матрицу для квадратной матрицы второго порядка будем находить по
формуле:
37