Page 42 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Обозначим через A матрицу из коэффициентов при переменных. Дополним
матрицу A столбцом свободных членов; полученная матрица A 1 называется
расширенной.
a a  a  a a  a b 
 11 12 n 1   11 12 1 n 1 
A=  a 21 a 22  a 2 n  , A   a 21 a 22  a 2 n b 2 
      1  
        
   
 a m1 a m2  a mn   a m1 a m2  a mn b m 

Теорема Кронекера-Капелли. Критерий совместности системы уравнений.
Система уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы
равен рангу расширенной матрицы этой системы.
( r ) A  r (A 1 )

Теорема устанавливает критерий совместности системы уравнений, но не дает никакого
способа отыскания решений этой системы. Это позволяет сделать метод Жордана-Гаусса.
Выполним последовательное исключение переменных. Предположим, что коэффициент
при переменной х в первом уравнении а 11  0. Разделив это уравнение на а , получим
1
11
а a b
х  12 х   1n x  1 .
1
а 11 2 a 11 n a 11
Полученное уравнение умножим на числа – а , –а ,..., – а и прибавим соответственно
31
т
1
21

ко второму, третьему,..., т му уравнению. В результате исключим переменную х из
1
всех последующих уравнений, начиная со второго. Продолжая процесс
последовательного исключения переменных, получим систему уравнений
 x
 x
x 1  a 12 2   a 1r r   a  x n  b  ,
1
1n

 a  x 2   a  x r   a  x n  b ,
2r
2n
22
2
        

 a  x r   a  x n  b , (2)
rr
r
rn
  ,
 0  b r 1
    

 0  b  .
m
Число 0 в последних m  уравнениях означает, что их левые части имеют вид
r
 0 х 0  х   x  0 . Если хотя бы одно из чисел b , , b не равно нулю, то
1 2 n r1 m
соответствующее равенство противоречиво, и система уравнений несовместна. Если же
r
все числа b , , b равны нулю, то система уравнений совместна. Последние m 
m
r1
уравнений являются тождествами и могут быть отброшены.
Процесс исключения переменных соответствует элементарным преобразованиям
строк расширенной матрицы системы (1), приводящим е к ступенчатой. Следовательно,
он закончится после исключения r переменных, где r – ранг системы (1).
Допустим, что система уравнений оказалась совместной. Если число уравнений
полученной системы равно числу переменных, т.е. r  , то система уравнений примет
n
треугольный вид:
x 1  a 12 2   a 1n n  b  ,
 x
 x
1

 a  x 2   a  x n  b ,
2
2n
22

      
 a  x n  b n .

nn
40