Page 46 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

4. Что называется скалярным произведением n мерных векторов?
5. Какие векторы называются зависимыми, независимыми?Литература. Высшая
математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998. Глава 3. § 3.2.
Лекция 7. Собственные векторы и собственные значения
Основные вопросы
1. Собственные векторы
2. Собственные значения (числа)

Определение. Вектор x 0называется собственным вектором матрицы А, если
найдется такое число  , что А   х . Число  называется
х
собственнымзначением (числом) матрицы А, соответствующим вектору x .
Например, любой n мерный вектор является собственным вектором единичной
матрицы n го порядка. Действительно, для n 3 имеем
1 0  0   х 1   х 1 





E  x  0 1 0   х 2   х 2  .



     
 0 0 1   х 3   х 3 
Таким образом, Е  х  х  1 . Это значит, что собственное значение равно единице.
Перенесем правую часть уравнения А   х в левую. Принимая во внимание
х
соотношение х  Е х , получим:
А х   х  0, А х  Е х  0, или (  ЕА  ) х 0.
Получили систему однородных уравнений.
(а 11  )х 1  а 12 х 2   а 1n x n  ,0

a
 21 x 1  (a 22  )x 2   a 2n x n  ,0

        
 a x  a x   (a  )x  .0
 n 1 1 n 2 2 nn n
Ее главный определитель имеет вид:
a 11   a 12  a n 1
a a    a
A  E  21 22 2 n
  
a n1 a n2  a nn  
Если А  Е  0, то система имеет единственное нулевое решение (0; 0; ...;0).

Если А  Е  0, то система имеет ненулевые решения.
Этот определитель является многочленом n ой степени относительно  и
называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение А  Е  0
— характеристическим уравнением матрицы А. Корни характеристического
уравнения соответствуют собственным числам матрицы А. Определив набор этих
чисел, для каждого из них можно найти собственный вектор.

Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется собственным вектором квадратной матрицы?
2. Что называется собственным значением (числом) квадратной матрицы?
Литература. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998.
Глава 3. § 3.7.

Лекция 8.Прямая линия на плоскости

44