Page 51 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Основные теоремы о пределах
a
Пусть функции (xf ) и (xg ) имеют пределы при x  (а – число или символ ∞):
lim f ( x ) A , lim g( x ) B .
x a x a
1. Функция не может иметь более одного предела.
f (x ) A
2. lim ( f ( x ) g( x )) A  B 3. lim f ( x) g( x ) AB 4. lim  ( B ) 0
x a x a x a g (x ) B
Определение 3. Функция (xf ) называется бесконечно малой приx→ a , если
lim f (x )  0 .
x а
Определение 4. Функция (xf ) называется бесконечно большой приx→ a, если
lim f (x )   .
x а
Теорема 1. Если функция (xf ) − бесконечно малая при x→ a, то функция /1 f (x ) −
бесконечно большая при x→ a. Если функция (xf ) − бесконечно большая при x→
a, то функция /1 f (x ) − бесконечно малая при x→ a.
Определение 5. Функции (xf ) и (xg ) называются эквивалентными при x→ a,

если предел их отношения равен единице. Это записывают так: если lim f (x )  1 ,
x a g (x )
то (xf )  g (x ) при x→ a.
Например, при x→ ∞ многочлен эквивалентен своему старшему члену.

Непрерывность функции.
Пусть функция (xf ) определена в точке a и некоторой ее окрестности.
Определение 1. Функция (xf ) называется непрерывной в точке a, если предел
функции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim f (x )  f (a ) .
x а
Определение 2. Функция (xf ) называется непрерывной на промежутке Х, если
она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Определение 3. Если функция (xf ) не является непрерывной в точке a, то
точка a называетсяточкой разрыва.
Виды точек разрыва
Определение 4. Если функция (xf ) в точке aимеет конечный предел, но этот
предел отличен от значения функции в этой точке (или точка не входит в область
определения функции), то точка a называетсяточкой устранимого разрыва.
Определение 5. Если функция (xf ) в точке aимеет конечные, но не равные
друг другу односторонние пределы, то точка a называетсяточкой разрыва первого
рода.
Определение 6. Если в точке aхотя бы один из односторонних пределов
равен бесконечности, то точка a называетсяточкой разрыва второго рода.

Вопросы для самоконтроля.
15. Дайте определение предела функции.
16. Что такое односторонние пределы функции?
17. Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.
18. Что называется бесконечно малой величиной? бесконечно большой величиной?
19. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
20. Какие функции называются эквивалентными?
21. Дайте определение непрерывности функции в точке, на промежутке.
22. Что такое точка разрыва?

49