Page 55 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Лекция 13. Экстремумы функции двух переменных

Цель лекции. Рассмотреть вопрос исследования функции двух переменных на
экстремум. Познакомить с методом наименьших квадратов.
Основные вопросы.
1. Локальный экстремум функции двух переменных
2. Необходимое условие экстремума
3. Достаточное условие экстремума
4. Метод наименьших квадратов

Понятие локального экстремума
Определение. Точка М 0 (х 0 ; у 0 ) называется точкой локального минимума

(максимума) функции z  f (x ; ) y , если существует такая окрестность точки М , в
0
которой для любой точки М (х ; ) у выполняется неравенство ( yxf ; )  f (x 0 ; y 0 )
( f (x ; ) y  f (x 0 ; y 0 )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема. Необходимое условие экстремума.
Пусть точка М 0 (х 0 ; у 0 ) есть точка экстремума дифференцируемой функции
Z  f (x ; ) y . Тогда частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

(Z x )  М 0  0 , (  Z y ) М 0  0 .
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю,
называются критическими точками.
Теорема. Достаточное условие экстремума
Пусть М (х ; у ) – критическая точка функции z  f (x ; ) y . Функция z имеет
0 0 0
непрерывные частные производные первого и второго порядка.
2
Обозначим: Z  )( xx М 0  А, Z  )( xy  B , Z  )( yy M 0  C , D  AC  B .
1) Если D  0 , то в точке М функция Z имеет экстремум, причем если
0
A  0 − минимум, если A  0 − максимум.
2) Если D  0, то в точке М функция Z экстремума не имеет.
0
3) Если D  0 , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Метод наименьших квадратов
Пусть для изучения функциональной зависимости y  f (x ) произведен ряд
измерений величин х и у.
X х х  х
1
n
2
Y y y  x
1
2
n
Всякая функция, приближенно заменяющая табличную функцию, полученную
опытным путем, называется эмпирической функцией, или эмпирической формулой.
Этапы построения эмпирической формулы:
1) выявление общего вида этой формулы из теоретических или наглядных
соображений;
2) определение ее параметров так, чтобы эмпирическая формула наилучшим
образом соответствовала данным наблюдения.
Одним из наилучших методов получения эмпирических формул является
метод наименьших квадратов.

53