Page 59 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Цель лекции. Ввести понятие определенного интеграла и дать его
геометрический смысл. Установить связь определенного и неопределенного
интегралов.
Основные вопросы.
1. Понятие определенного интеграла. Его геометрический смысл
2. Свойства определенного интеграла
3. Методы вычисления определенного интеграла
4. Несобственный интеграл с неограниченным пределом интегрирования

Пусть функция y  f (x ) непрерывна на отрезке [a;b], а функция (xF ) − какая-либо
ее первообразная (т.е. F (x )  f (x ) ).

Определение. Определенным интегралом от функции (xf ) на [a;b] называется
приращение любой ее первообразной (xF ) на этом отрезке, т.е.
b
 f (x )dx  F (x )  F (b ) F (a ) – формулаНьютона-Лейбница.
b
a
a
Функция y  f (x ) называется подынтегральной функцией. Число aназывается
нижним пределом, число b − верхним пределом интеграла, отрезок [a;b] −
промежуткоминтегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл равен
площади фигуры, ограниченной частью графика функции (xf ) , осью Ox и
прямыми x  и x  b.
a
Свойства определенного интеграла
b b b b b




1.  f ( x) dx    f ( x) dx2. ( f ( x)  g( x)) dx  f ( x) dx  g( x) dx
a a a a a
b a b c b





3. f ( x) dx   f ( x) dx 4. f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx , где a  c  b.
a b a a c
b

5. Еслинепрерывнаяфункция (xf )  0при x  [a ;b ] , то f (x )dx  0 .
a
Метод замены переменной
b

Пустьтребуется вычислить интеграл f ( ( x))  x)( dx . Сделаем замену переменной; для
a
этого промежуточный аргумент обозначим буквой t : ( x ) t , тогда ( x) dx  dt .
Найдем новые пределы интегрирования:    (a ) ,    (b ). Получим
b 
 f (( x ))  x)( dx   f ( t) dt .
a 
Метод интегрирования по частям
Если функции u  u (x ), v  v (x ) непрерывны вместе со своими производными
u (x ) и (xv ) в промежутке [a;b], то имеет место следующая формула
интегрирования по частям:
b b

 u dv  uv b a  v du .
a a
Несобственный интеграл

Интеграл называется несобственным, если его подынтегральная функция не
ограничена на промежутке интегрирования, либо не ограничена сама область
интегрирования.

57