Page 58 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Основные методы интегрирования

I. Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования использует правила интегрирования и
таблицу основных интегралов. Другое его название − метод разложения. Сначала
подынтегральная функция преобразуется, например, с помощью формул
сокращенного умножения, почленного деления числителя на знаменатель в
алгебраическую сумму функций, к которой применяют правила интегрирования.

II. Метод замены переменной (метод подстановки)
Метод замены переменной используется в том случае, когда требуется найти
неизвестную сложную функцию по ее производной.

Пусть f ( x) dx  F( x ) C − табличный интеграл. Найдем интеграл
 f ( ( x))  x)( dx .

Сделаем замену переменной; для этого промежуточный аргумент обозначим
буквой t : ( x ) t , тогда ( x) dx  dt . Получим
 f ( ( x))  x)( dx   f ( t) dt  F( t)  C  F( ( x))  C .

Замечание. Полезно запомнить частный случай:
x)
 f ( x) dx  ln f ( x ) C
f (
Действительно, сделав замену переменной, получим
 t
x)
 x)(
 f f ( x) dx  f  x)( f ( dx  dt   dt  ln t  C  ln f ( x)  C .
t
Если числитель подынтегральной дроби есть производная от знаменателя,
то интеграл равен натуральному логарифму модуля знаменателя.
III. Метод интегрирования по частям
Пусть u  u (x ), v  v (x ) − дифференцируемые функции. Тогда

( uv )  u v  v u  , или d( uv ) du  v  u  dv , откуда u  dv  d( uv ) v  du .
Проинтегрировав последнее равенство, получим формулу интегрирования по
частям

 u  dv  u v  v  du

Для применения формулы подынтегральное выражение следует разбить на два
сомножителя u и dv. За u берется сомножитель, который при
дифференцировании упрощается, а за dv − сомножитель, содержащий dх , который
легко интегрируется.
Вопросы для самоконтроля.
1. Дайте определение первообразной функции.
2. Что такое неопределенный интеграл функции?
3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
4. Напишите основные формулы интегрирования.
Литература. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998.
Глава 10. § 10.1-10.4

Лекция 15. Определенный интеграл и его свойства

56