Page 56 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Пусть (x ; y ) – пары чисел, полученные из наблюдения, y  f (x )−
i i
эмпирическаяфункция. Вычислим значения эмпирическойфункции при выбранных
значениях аргумента. Разность f ( x ) y   называетсяпогрешностью или
i
i
i
отклонением.Требуется так подобрать параметры функции (xf ) , чтобы эти
погрешности были по возможности малыми по абсолютной величине.
Сущность метода наименьших квадратов: из формул вида y  f (x ) наиболее
соответствующей опытным данным считается та, для которой сумма квадратов
отклонений эмпирических данных от вычисленных является наименьшей, т.е. должна
быть наименьшей сумма 2
n
n
S   1 2   2 2    n 2    i 2    (xf i )  y i  .
 i 1  i 1
Предположим, что между переменными х и у существует приближенная
линейная зависимость y  ax  b . Найдем параметры a и b так, чтобы сумма S

была наименьшей. 2
n
S   ax i  b  y i  .
1  i
Функция S=S(a; b) является функцией двух переменныхa и b, а x и y −
i
i
постоянные числа, найденные экспериментально. Необходимое условие
экстремума − равенство нулю частных производных S и S.
b
a
n n

S  2  ax  b  y x , S   2  ax  b  y  .
a i i i b i i
i1  i 1
Получим систему уравнений:
 n  n n n
 ( ax i  b  y ) x i  ,0   x i 2  b  x i   x i y ,
a
i
i
 i 1   i 1  i 1  i 1
 или 
n
n
n
  ( ax  b  y )  ,0  a  x  bn   y .
 i i  i i
 i 1   i 1  i 1
Полученная система уравнений называется системойнормальных уравнений для
определения параметров a и b функции y  ax  b . Эта система имеет
единственное решение. Найденные из системы значения параметров a и b дают
минимум функции S=S(a; b).
.
Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое экстремум функции двух переменных?
2. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции двух переменных.
3. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.
4. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
Литература. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998.
Глава 15. § 15.6, 15.8, 15.9.

Лекция 14.Неопределенный интеграл

Цель лекции. Ввести понятия первообразной и неопределенного интеграла.
Дать их основные правила интегрирования. Изучить основные методы
интегрирования.
Основные вопросы.
1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл

54