Page 52 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Литература. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998.
Глава 6. § 6.2-6.7

Лекция 11. Производная и дифференциал

Цель лекции. Повторить понятие производной функции – одного из основных
понятий математического анализа.
Основные вопросы.
1. Понятие производной функции
2. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции
3. Таблица основных производных
4. Правила вычисления производной. Производная сложной функции

Пусть функция f (x ) определена на промежутке X. Возьмем точку х ,
принадлежащую этому промежутку. Дадим значению х приращение  . Тогда
х
функция получит приращение у .
Определение 1. Производной функции у  f (x ) называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю (если этот предел существует):
 y f ( x  x ) f ( x)
f ( x  lim)  lim .
 x0  x  x0  x
Дифференцируемость функции
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой
точке конечную производную.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в
этой точке.
Геометрический смысл производной. Производная функции у  f (x ) в точке
х  х равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции
0
в точке (х ; у ): tg  f  (х ). у  у  f  (х )(х x ) − уравнение касательной.
0 0 0 0 0 0

Дифференциал функции. Пусть функция у  f (x )дифференцируема в точке х .
 y
Значит, в этой точке существует конечная производная f ( x  lim) . Тогда разность
 x0  x
у   у   – есть бесконечно малая функция при х  0.
х
 у  у   х   х . Первое слагаемое, линейное относительно х , называют главной

частью приращения функции. При малых х приращение функции можно
приближенно заменить его главной частью.
 y  у   x .
Определение 2. Дифференциалом функции называется главная часть
приращения функции, равная произведению ее производной на приращение
аргумента: dу  f ( x ) x , или dy  у   x .
Найдем дифференциал для функции у  : dy  dx  ( x   ) x 1   x   х ,
х
т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Поэтому дифференциал функции принято записывать в виде dy  у dx . Из этого

равенства следует, что у   dy .
dx

50