Page 47 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Цель лекции. Сформировать понятие уравнения линии на плоскости. Дать способы
задания прямой линии на плоскости.
Основные вопросы.
1. Понятие уравнения линии
2. Способы заданияпрямой линии на плоскости

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется
уравнение F(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки,
принадлежащей этой линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не
принадлежащей этой линии.
Переменную точку M(х; у), движущуюся вдоль линии, называют текущей
точкой, а ее координаты х и у − текущими координатами.

1. Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой имеет вид: Ах  Ву  С  0 , где A и B одновременно
2
2
не обращаются в ноль: A +B ≠0. Справедливы следующие утверждения:
1) каждая прямая задается уравнением первой степени Ax+By+C=0, где хотя
бы один из коэффициентов A или B отличен от нуля;
2) каждое уравнение вида Ax+By+C=0, где хотя бы один из коэффициентов A
или B отличен от нуля, определяет прямую линию на плоскости.

Частные случаи расположения прямой линии на плоскости.
а) Если С  0 , то Ах  Ву  0 – прямая проходит через начало координат.
б) Если А  0, В  0, то Ву  С  0 , или у   С / В – уравнение прямой,

параллельной оси Ох . Если С  0 , то у  0– уравнение оси Ох .
в) Если В  0, А  0 , то Ах С  0, или х   С / А– уравнение прямой,
параллельной оси Oy . Если С  0 , то х 0– уравнение оси Oy .

2. Уравнение прямой с нормальным вектором. 
Пусть дана точка М (х 0 ; у 0 ) и ненулевой вектор n  (A ; ) B . Уравнение
0

прямой, проходящей через точку М перпендикулярно вектору n имеет вид
0
А (  хх )  В (  уу )  0 .
 0 0
Вектор n называется нормальным вектором прямой. После раскрытия
скобок полученное уравнение принимает вид
Ах  Ву  (Ах 0  Ву 0 )  0.

Обозначив число Ах  0 Ву через C, получим общее уравнение прямой
0
Ах  Ву  С  0 .
Коэффициенты A и B в общем уравнении прямой Ax+By+C=0 являются
координатами нормального вектора этой прямой.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая l пересекает ось Oy в точке B(0;b) и образует с осью Ox угол
 ,  90 . Угол  называется углом наклона прямой к оси Ox. Тангенс угла
0
наклона называется угловым коэффициентомпрямой и обозначается tg  k ,
число b – начальной ординатой. Уравнение прямой имеет вид y  kx  b .

Если прямая проходит через начало координат, то b 0, значит, ее уравнение
y  kx.

45