Page 49 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Пусть на плоскости заданы две прямые l и l . Углом между прямымиl и l
1
2
1
2
называется меньший из двух смежных углов, образованных этими прямыми,
0
0   90 . Угол между двумя прямыми на плоскости определяется по формуле
k  k
tg  1 2 , (1)
k 1 k 2  1
где k и k − угловые коэффициенты данных прямых.
2
1
0
Если прямые параллельны, то  0 , поэтому tg  0 . Из равенства дроби
нулю следует равенство нулю ее числителя: k 1  k 2  0 , откуда получаем условие
параллельности двух прямых:
k  k (2)
2
1
0
Если прямые перпендикулярны, то  90 . В этом случае tg не существует,
а ctg   0 . Из формулы (1) получим ctg  k 1 k 2  1  0 , откуда kk 1 2  1  0 −
k 1  k 2
условиеперпендикулярности двух прямых. Будем записывать это условие в виде
k 1 k 2   1, или k   1 . (3)
2
k
1

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые l и l . Прямая l имеет уравнение
2
1
1
A 1 x  B 1 y  C 1  0, прямая l − уравнение A 2 x  B 2 y  C 2  0. По заданным
2
уравнениям прямых l и l можно судить об их взаимном расположении.
2
1
Рассмотрим возможные случаи.
Если прямые параллельны или совпадают, то их угловые коэффициенты одинаковы
k  k . Значит, в обоих случаях  A 1   А 2 , или A 1  B 1 .
1
2
В 1 B 2 A 2 B 2
A B
Если прямые пересекаются, то 1  1 . Если прямые совпадают, то их
A 2 B 2
начальные ординаты равны b  b , т.е.  C 1   С 2 , или В 1  С 1 .
2
1
B B В С
1 2 2 2
Если прямые параллельны, то b  b . Значит, В 1  С 1 .
1
2
В С
2 2
Таким образом, получаем следующие три условия:

а) совпадения: A 1  B 1  С 1 , б) параллельности: A 1  B 1  С 1 ,
A B С A B С
2 2 2 2 2 2
в) пересечения A 1  B 1 .
A 2 B 2

Точку пересечения прямых l и l находим, решая систему уравнений
1
2
 xA 1  B 1 y  C 1  ,0

 A 2 x  B 2 y  C 2  .0
Расстояние от точки до прямой

47