Page 45 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

1. х  у  у  х
2. (x  ) y  z  x  (y  ) z
3.  ( x)  ( x )
4. ( x  y )  x  y
5.   )(  x   x   х

6. x  0  x
7. x  (x )  0
Скалярным произведением двух векторов x  (x , x , , x ) и y  (y , y , , y )
1 2 n 1 2 n
называется число x  y  x 1 y  x 2 y   x n y .
2
n
1
Скалярное произведение векторов имеет экономический смысл: вектор x
характеризует некоторый набор товаров, а вектор y – соответствующие цены, то
скалярное произведение x  выражает суммарную стоимость этих товаров.
y
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1.  хх  0;  хх  0 лишь при х 03. x ( y ) z  xz  yz
2. х у  у х  4. ( x )y   (xy )

Понятие о линейных пространствах. Некоторое множество U образует линейное
пространство, если для любых двух его элементов x U и y  U определена
операция сложения x  y  U и для каждого элемента x U и любого
действительного числа  определено произведение х U , причем эти операции
удовлетворяют свойствам 1–8.
Таким образом, множество n мерныхвекторов с действительными координатами
образует линейное векторное пространство R . В частности, R – пространство
2
n
двумерных векторов, R – трехмерных.
3
Линейное пространство называется евклидовым, если в нем определено скалярное
произведение, удовлетворяющее свойствам 1–4. Так как для n мерныхвекторов
скалярное произведение определено, то все множество n мерныхвекторов образует
евклидово пространство.
Линейная зависимость векторов.
Определение 3. Векторыа , а , а , n векторного пространства R называются
1
2
линейно зависимыми, если существуют такие числа  ,  , ,  , не равные
1
2
n
одновременно нулю, что а 1  а 2    a n  0.
n
1
2
В противном случае векторы а , а , а , называются линейно независимыми, т.е.
1 2 n
указанное равенство выполняется только при      n  0.
2
1
Определение 4. Линейное пространство R называется n мерным, если в нем
существует n линейно независимых векторов, а любые из ( n ) 1 векторов уже
являются линейно зависимыми.
Определение 5. Совокупность n линейно независимых векторов n мерного
пространства R называется базисом.
Теорема. Если в векторном пространстве выбран какой-либо базис, то любой вектор
этого пространства можно однозначно представить в виде линейной комбинации
векторов базиса

Вопросы для самоконтроля.
1. Дайте определение n мерного вектора.
2. Как определяются операции над n мерными векторами?
3. Перечислите свойства этих операций.

43