Page 54 - Segizbaeva_umkd_matematika_v_ekonomike_russ_Omarova

Определение 2. Множество всех точек плоскости Oxy ,
для которых функция Z  f (x ;
z ) y принимает одно и то же
значение C, называется линией уровня функции Z.

f ( x; y ) С − уравнение линии уровня. Число С называется
уровнем.
С
Геометрический смысл уровня С . На рисунке изображена
у y линия пересечения поверхности Z  f (x ; ) y и плоскости,
параллельной плоскости Oxy и пересекающей ось Oz в
x
точке z  . Ее проекция на плоскость Oxy и есть линия
Частные производные. Пусть Z  f (x С ) y − функция двух переменных. Если
;
уровня С .
зафиксировать один из аргументов, x или у , то получим функцию одной
переменной.
Частной производной первого порядка функции Z  f (x ; ) y по какой-либо
переменной называется обычная производная функции Z , вычисленная при
условии, что другая переменная остается неизменной.
Частные производные обозначаются так:
 Z  Z
Z , Z или x  , y  , или f  (x ; ) y , f  y (x ; ) y .
x
y
x
Частные производные первого порядка функции Z  f (x ; ) y , вообще говоря,
являются функциями двух переменных x или у , поэтому для них также можно
найти частные производные, которые называются частными производными
второго порядка.
 2 Z  2 Z  2 Z  2 Z
Z    ( Z ) , Z    ( Z ) , Z    ( Z ) , Z    ( Z ) .
xx
x  2 x x yy y  2 y y xy  x y x y yx  y x y x
Частные производные Z  и Z  отличающиеся порядком дифференцирования,
xy
yх
называются смешанными частными производными второго порядка. Если
 
смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то Z  Z  .
уx
xy
Полным приращением функции Z  f (x ; ) y называется величина
 Z  f (x  x ; y  ) y  f (x ; ) y .
Полным дифференциалом функции z  f (x ; ) y называется выражение
dZ  Z  x  Z  y .


x y
Так как dx   x , dy   y , дифференциал dz можно записать в виде
dZ  Z x dx Z y dy .
При достаточно малых значениях x и y  Z  dZ .

Вопросы для самоконтроля.
1. Что называется функцией двух переменных; областью определения?
2. Что называется частной производной функции двух переменных?
3. Дайте определения частных производных второго порядка.
4. Что называется дифференциалом функции двух переменных?

Литература. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. 1998.
Глава 15. § 15.3-15.4

52