Page 53 - e-book Calculcs I

เฉลย

I. การหาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วน
x
1. จงหาค่าของ ∫ xe dx

ให้ u = x และ dv = e x dx จะได้ ∫ xex dx = ∫ udv หา du จาก u = x จะได้ du = dx และหา v

จาก dv = e x dx จะได้ v = e x ดังนั้น

∫ xex dx = ∫ udv

= uv − ∫ vdu

= xex − ∫ e x dx

= xex − e x + C

2. จงหาค่า ∫ xcosx dx

ให้ u = x และ dv = cos xdx จะได้ du = dx และ v = sin x หาปริพันธ์โดยวิธีแยกส่วนได้ดังนี้

∫ xcos x dx = x sin x − ∫ sinx dx

= x sin x + cos x + C

x
3. จงหาค่า ∫ e sin x dx

x
x
ให้ u=e และ dv= sin x dx จะได้ du= e dx และ v= −cos x ดังนั้น
x
x
x
∫ e sin x dx= −e cos x +∫ e cos x dx
x
หา ∫ e cosx dx โดยวิธีแยกส่วนอีกครั้ง
x
x
ให้ u = e และ dv = cosxdx จะได้ du = e dx และ v = sinx ดังนั้น
x
x
x
∫ e cosx dx = e sinx − ∫ e sinx dx
เพราะฉะนั้น
x
x
x
∫ e sinx dx = −e cosx + ∫ e cos x dx
x
x
x
= −e cosx + ( e sinx − ∫ e sinx dx )
x
x
x
= −e cosx + e sinx −∫ e sinx dx

53