Page 57 - e-book Calculcs I

tan −1/2 x tan 3/2 x
= + + C
−1/2 3/2
2 3/2 −1/2
= tan x− 2 tan x + C
3

3
−1/2
8. จงหาค่า ∫ tan xsec x dx
−1/2
2
3
−3/2
∫ tan xsec x dx = ∫ tan xsec xsec xtan x dx
2
−3/2
= ∫ (sec x − 1)sec x d(secx)
−3/2
1/2
= ∫ sec x d(sec x) − ∫ sec x d(secx)
2 3/2 −1/2
= sec x + 2sec x + C
3

9. จงหาค่า ∫ cos y cos 4y dy
1
∫ cosycos 4y dy = ∫ [cos 5y + cos(−3y)] dy
2
1 1
= ∫ cos 5y d(5y) + ∫ cos 3y d(3y)
10 6
1
1
= sin 5y + sin 3y + C
10 6

III. การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1. จงหาค่า ∫ dx
2
2
√4 − x
จัดรูปใหม่ได้ ∫ dx = ∫ dx
2
2
2
2
2
√4 − x √2 − x

2
2
ดังนั้นให้ x = 2 sin θ เพราะฉะนั้น x = 4 sin θ
√2 − x = √2 − 4 sin θ = √2 (1 − sin θ) =√2 − cos θ = 2 cosθ
2
2
2
2
2
2
2
2
และ dx = 2 cos θdθ
ดังนั้น ∫ dx = ∫ 2 cos θdθ
2
2
x √4−x 2 4 sin θ2 cos θ
1
2
= ∫ csc θ dθ
4
1
= − cot θ + C
4
จะเปลี่ยนจากฟังก์ชันตรีโกณมิติกลับไปสู่รูปแบบเดิม โดยพิจารณาจาก
57