Page 55 - e-book Calculcs I

ั
II. การหาปริพันธ์ของฟงก์ชันตรีโกณมิติที่มีรูปแบบแน่นอน
3
1. จงหาค่าของ ∫ sin xdx
จะใช้เอกลักษณ์

2
2
sin u + cos u = 1
2
แก้โจทย์ปัญหานี้ ∫ sin3 xdx = ∫ sin x(sin xdx)
2
= ∫ (1−cos x)(−d(cosx))
2
= ∫ (cos x − 1)d(cosx)
3
x
= – cos x + C
3

4
2. จงหาค่า ∫ cos x dx
2
4
2
∫ cos x dx = ∫ (cos x) dx
2
= ∫ ( 1 + cos 2x ) dx
2
1 2
= ∫ (1 + 2cos2x + cos 2x) dx
4
1
1
1
2
= ∫ dx + ∫ cos 2x d(2x) + ∫ cos 2x dx
4 4 4
1
1
1
= x + sin2x + ∫ (1 + cos 4x) dx
4 4 4 2
1
1
1
= x + sin2x + ∫ (1 + cos 4x) dx
4 4 8
1
1
1
= x + sin 2x + ∫ dx + 1 ∫ cos 4x d(4x)
4 4 8 32
1
1
1
1
= x + sin2x + x + sin4x + C
4 4 8 32
1
3
1
= x + sin 2x + sin 4x + C
8 4 32

3
−4
3. จงหาค่า ∫ sin xcos x dx
−4
3
−4
2
∫ sin xcos x dx = ∫ (1 − cos x)(cos x)(sinx) dx
−4
−2
= − ∫ (cos x − cos x) d(cosx)
= − [ (cosx) −3 − (cosx) −1 ] + C
−3 −1
1 3
= sec x − secx + C
3
55