Page 112 - 20 Euclides

LA APORÍA DE AQUILES Y LA TORTUGA

Es imposible que Aquiles, el de los pies ligeros, lograra alcanzar a
la lenta tortuga si esta le llevaba una cierta ventaja. Aquiles partía
de un punto A con la intención de alcanzar una tortuga que se
hallaba adelantada al punto B (véase la figura). Por muy rápido
que se desplazara Aquiles -salvo que lo hiciera a velocidad infi-
nita, algo que no es admisible-, cuando llegara al punto B, la
tortuga, por lenta que fuera, se habria desplazado al punto B ; en-
1
tre los puntos By B hay un cierto espacio -puesto que supone-
1
mos que el espacio es infinitamente divisible, lo cual significa que
carece de infinitésimos y, por consiguiente, entre dos puntos,
siempre hay un cierto espacio- . Aquiles precisaba de un cierto
tiempo para recorrer el intervalo BB, y, entre tanto, la tortuga se
habria desplazado al punto B y así ad infinítum. En un tiempo fi-
2
nito, Aquiles jamás alcanzaría a la tortuga.
Había que superar pues esta dualidad si se quena fundamen-
tar, con un cierto rigor, la geometria. ¿Las magnitudes geométri-
cas -líneas, superficies y sólidos- son infinitamente divisibles
o atómicas? Euclides, de forma implícita, en sus Elementos, y
Arquímedes, en forma de postulado, en De la esfera y el cilindro,
imponen:

Las magnitudes son infinitamente divisibles y, por consiguiente, ca-
recen de átomos.

Así, eligiendo entre dos situaciones posibles igualmente acep-
Aporía de Aquiles
y la tortuga . tables --0 inaceptables- salvaban el escollo que plantea el hecho
...-------- - -- -- - -

.._ _____ ____ - -- -
"

112 LA TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN