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presar diciendo que hay «una relación»
FIG. 1 entre AB y CD, su «razón», que expre-
o __________ ...,c
saremos como 1;: o m: n.
/
/
/ El concepto de razón es muy im-
/
/ portante porque permite «eludir» el seg-
/
/ mento de medida concreto UV. Lo
/
/
/ mismo da usar metros que centímetros
/
/ o kilómetros: la razón -la relación en
/
/ la que se hallan las longitudes- no
/
/ varía si cambiamos la unidad de refe-
/
/
/ rencia de la distancia.
A B Pero no siempre podemos estable-
cer una razón numérica entre magnitu-
des; no es posible reducirlo todo a un
cómputo numérico ( con números naturales; es decir, los enteros
positivos). Así, por el teorema de Pitágoras, se puede computar la
«diagonalAC de un cuadrado de lado arbitrarioAB» (figura 1). Ya
queAC=AB:
2 2 2 2 2 2
AC =AB + BC =AB + AB =2 xAB .
Supongamos que AB y AC fuesen conmensurables. Tendría-
2 2 2
mos: AB=mx UV, AC=nx UV. Por lo tanto, AB =m x UV ,
2
2
2
2
2
AC = n 2 X UV • Luego, n X UV = 2 X m 2 X UV Y, por consiguiente,
2
2
n =2xm , lo cual no es posible. La diagonal de un cuadrado es
inconmensurable.
Lo expuesto hasta aquí ( que no aparece explícitamente en los
Elementos de Euclides pero que permite una lectura más com-
prensible de sus logros y de sus limitaciones) fue una tragedia
para la escuela pitagórica, que sostenía:
El número [natural} es la razón de todo.
Es decir, según los pitagóricos, todo puede medirse mediante
números naturales; o, dicho de otro modo, todas las magnitudes
( de una misma especie) son conmensurables entre sí. Pero, de
acuerdo con el ejemplo expuesto, «existen» segmentos que no

114 LA TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN