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MÉTODO ITERATIVO PARA FABRICAR LADOS Y DIAGONALES
DE CUADRADOS
Es posible ofrecer una de- o e
mostración de la incomensu- - - - '
rabilidad de la diagonal del - ' ' '
cuadrado -también por re- ' '
' 'B' '
ducción al absurdo- com- d' }D'
pletamente geométrica. Se a' /
/
trata de una prueba de índo- ' \ /
\
le iterativa: a partir de un d \ /
caso particular, se generan - - - - -~-- A'
otros casos más pequeños -- - -- 1 1
que mantienen la misma ra- - - - - - - 1
zón. Consideremos un cua- - - - - - - - - 1
drado • A8CD de lado a=A8 - - --
y diagonal d=AC. Llevemos A a B
el lado sobre la diagonal.
Obtenemos una recta A8'.
Tiremos la tangente al arco de circunferencia 88' en el punto 8'; corta el lado
BC en A'. Unimos 8' y A' y completamos el triángulo rectángulo isósceles
!'iC8' A' para conseguir el cuadrado DC8' A' O'. Hemos construido un nuevo
cuadrado cuyos lado y diagonal son, respectivamente, A'8'=AC-A8'[a'=d-a]
y A'C=8C-A'8 [d'=a-a '], en el cual obviamente AC>A'C y A8>8'C. Está claro
que si u mide, a la vez, a a =A8 y d=AC, medirá su diferencia a' y, luego, la dife-
rencia d'. Podemos iterar e iterar el proceso y obtener las parejas
(a,d) > (a ',d') > (a ",d") > (a"',d"') > •·· de lados y diagonales de cuadrados con-
mensurables. Llegará un momento en que la diagonal o el lado serán menores
que la medida u que los mide. Imposible.

EL CONCEPTO DE «RAZÓN»

En esta situación -la de la inconmensurabilidad- cabe pregun-
tarse si es posible considerar «la razón» de las magnitudes incon-
mensurables. Al afrontar esta cuestión surge la figura del genial
Eudoxo de Cnido, padre de las ideas contenidas en los Libros V
y VI.
Comenzaremos el análisis del Libro V examinando sus cuatro
primeras definiciones:

116 LA TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN