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de carecer de una definición precisa de magnitud. Es muy posible
que al geómetra no le importe tanto «lo que son» las magnitudes
como «cómo debe manejarlas». Ello, sin embargo, no excluye que
una falta de claridad filosófica -de cualquier tipo- pueda llevar
a situaciones paradójicas quizá inicialmente imprevistas. ¿Dan co-
bijo los postulados de los Elementos a estos entes matemáticos de
nueva creación? ¿Afecta ello al espíritu de orden y rigor que es
uno de sus objetivos?

LAS MAGNITUDES INCOMENSURABLES

Ya en la escuela pitagórica se planteó lo que algunos autores han
considerado la primera crisis de fundamentos de la matemática.
Hasta ese momento se había supuesto que «dos segmentos siem-
pre son conmensurables». Es decir, dados dos segmentos AB y
CD siempre es posible hallar un segmento UV «común» a ambos
segmentos por lo que a la medida se refiere; o, lo que es lo mismo,
siempre existe un segmento UV que mide exactamente ambos
segmentos. Así, pues: AB = m x UV y CD= n x UV. Lo podemos ex-

INDEPENDENCIA DE LA UNIDAD DE MEDIDA
k
Si, por ejemplo, en vez de UV elegimos U,V, = k x UV = UV + • • • + UV , entonces

m
o, lo que es lo mismo, k x AB = m x U 1 V,, k x CD= n x U 1 V 1 . Su relación es -, ya
que, por la proposición 3 del Libro V, n
AB = k x AB = m x U 1 V, = m
CD k x CD n x U V, n
1
Si se recurre a la razón entre magnitudes, no hace falta disponer de una unidad
de medida para cada «tipo» de magnitud.

LA TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN 113