Page 134 - 20 Euclides

Se constata que las sucesivas
FIG.3
e líneas quebradas que van de A
hasta B tienen la misma longitud
que los lados AC y CB:AC+CB=
=AC + C A +A C' + C' B.
1 1 1 1 1 1
Si «llevamos al límite» el pro-
ceso, la línea quebrada se «conver-
tirá» en el lado AB, lo que parece
probar la proposición - falsa-
inicial. Asumir que una verdad
«antes del límite» es cierta una vez que la «llevamos a él» puede
ser falaz.

LA SUPERFICIE DEL CÍRCULO EN LOS «ELEMENTOS»

Euclides abre el Libro XII con dos proposiciones que establecen
el mismo teorema para polígonos regulares inscritos en un círculo
y para el círculo.

Libro XII, proposición l. Los polígonos regulares semejan-
tes inscritos en dos circunferencias son como los cuadrados
de los diámetros respectivos.

Libro XII, proposición 2. Dos círculos son como los cua-
drados de los diámetros respectivos.

La primera es una consecuencia inmediata del teorema de
Tales para superficies ya que solo hay que notar que cada uno de
los triángulos centrales respectivos en los que descomponen los po-
lígonos regulares cun1ple el teorema de Tales. La segunda lo podría
establecer directamente «por paso al límite», pero este tipo de razo-
namientos, por implicar el infinito en acto, no son aceptables para
la mentalidad griega ( aunque en este caso sería correcto hacerlo).
Euclides podría haber «llevado al límite» la proposición 2 del
Libro XII mediante el siguiente razonamiento:

134 LA CUADRATURA DEL CÍRCULO