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de sus diámetros, o bien es menor ( ejemplificados ambos casos
en las siguientes fórmulas):

... llegando a contradicción en ambos casos. Por lo tanto, la rela-
ción entre superficies y cuadrados de los diámetros es de igualdad.

DEMOSTRACIÓN DE LA PROPOSICIÓN 2 DEL LIBRO XII
En el caso 2
S 1 d 1
-<- (1)
S2 dJ
suponemos que existe una superficie S < S tal que
2
2
S 1 d 1
s= df
Seguidamente consideramos la superficie E=S -S. El método de exhaución
2
garantiza la existencia de un cierto polígono P k inscrito en S que lo llena de
2 2
manera que S -P2"< E =S - S. Ello conlleva a_la desigualdad S < P2". Ahora con-
2 2
sideramos el polígono p i' inscrito en el círculo S (es decir, p ,<S ) semejante
1 2 1
a P k. Por Libro XII, proposición 1, sabemos que
2
pl d 2
____f!_ _ ......l...
P} dJ '
con n = 2k. Por la noción común 1, tenemos que
P~ d 1 2 S 1
p2 - d2 -s·
n 2
con S<P2" y p'i'<S , lo cual contradice la definición de igualdad de razones
1
(Libro V, definición 5). Por consiguiente, (1) es falso.
El caso
s, d,2 (2)
S2 > dJ
lo trató de forma análoga y concluye que también es falso. Luego necesaria-
mente

136 LA CUADRA TURA DEL CÍRCULO