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Más de mil años después, Arquímedes, el sabio de Siracusa,
en su brevísima obra De la medida del círculo, aportó dos resul-
tados nuevos:

Proposición l. La relación Vd que hay entre la longitud L
de una circunferencia y su diámetro d se halla entre 223/71
y22n.

Proposición 2. La superficie S de un círculo es igual a la de
un triángulo rectángulo T cuyos catetos son el radio r del
círculo y la longitud L de la circunferencia.

En la proposición 2 usó la exhaución de la misma manera que
Euclides en la proposición 2 del Libro XII; supuso que:

(1) S> T, y (2) S<T.

y entonces constató que tanto (1) corno (2) llevaban a contradic-
ción. Por lo tanto, necesariamente, S = T. Pero, ¿cómo intuyó la
existencia de esta relación? Nunca lo sabremos.
En la proposición 1, en cambio, Arquímedes usó las longitu-
des l , l , l24' l , l ; L , L , L , L , L , respectivamente, de los
6 12 48 96 6 24 12 48 96
polígonos regulares inscritos y circunscritos de 6, 12, 24, 48 y 96
lados. Para determinar tales longitudes dio un algoritmo iterativo
que, a partir de la longitud ln, permitía calcular la longitud l ,., y de
2
la Ln, la de L ,., en donde n torna como primer valor el 6. Final-
2
mente dio las desigualdades l < L < L que le llevaron al resultado
96 96
indicado:
223 L 22
-<-<-.
71 d 7
Lo más importante de este resultado es que Arquímedes se
percató de que la razón que existe entre la superficie S de un cír-
2
culo y el cuadrado del radio r y la razón entre la longitud L de la
circunferencia y su diámetro d = 2r es la misma. En la actualidad
el valor numérico de esta razón común lo conocernos con el nom-
bre de número pi y lo indicarnos corno n.

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO 139