Page 135 - 20 Euclides

Si, para cada polígono n de la
FIG. 4
forma n =2\ se tiene que
pl p2
n n
d!= ,¡2
1 ""2
y, en el límite P,: es S y P,; es S y
1 2
suponemos que la propiedad ante-
rior se conserva cuando se pasa al
límite -es decir, de los polígonos
regulares al círculo- , entonces
resulta

como queríamos.
Descartado el paso al límite,
hay que proceder por exhaución. Es decir, hay que ver que el Los polígonos
regulares inscritos
cuadrado inscrito en un círculo cubre más de la mitad de su su- de 4, 8, 16 ... lados
perficie; si ahora añadimos los triángulos que faltan para pasar «llenan» más y
más la superficie
del cuadrado al octógono, entonces nos llevamos más de la del circulo.
mitad de lo que queda una vez hemos quitado el triángulo, y así
sucesivamente. Llegará un momento en que el círculo polígono
regular inscrito P k llenará S de tal manera que lo que queda, si
2
lo quitamos, será menor que una superficie cualquiera dada de
antemano (figura 4).
Fijémonos que, de forma análoga a lo expuesto en el capítulo
anterior en relación con el segmento de parábola, el triángulo
isósceles que añadimos a cada lado del cuadrado para obtener un
octógono regular «cubría» más de la mitad del segmento circular
-una cuarta parte de lo que queda del círculo cuando quitamos
el cuadrado inscrito- ; seguidan1ente aplicamos el mismo razo-
namiento a los triángulos isósceles que hay que añadir a cada
lado del octógono regular para obtener el hexadecágono regular
y así sucesivamente. Cada vez se cubre «más de mitad», que es lo
que se precisa para poder aplicar la exhaución.
Valiéndose de esta herramienta, Euclides hizo dos supues-
tos: o bien la razón entre superficies es mayor que la del cuadrado

LA CUADRATURA DEL CÍRCULO 135