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ARISTÓTELES Y LA IRRACIONALIDAD DE ✓2

El estagirita empleó el método de la reducción al absurdo para demostrar que:
No hay ninguna razón numérica cuyo cuadrado valga 2.
En lenguaje actual, esto significa: «✓2 es irracional». Aristóteles parte de la
aceptación del postulado contrario al que quiere demostrar, a saber: ✓2 es
racional. El ilustre filósofo griego concluyó que dicha aceptación le obligaba
a admitir que «un número par es, a su vez, impar» lo cual no es posible. Su
razonamiento, expresado en su forma actual, es el siguiente:

Supongamos (hipótesis añadida) que
m2
2=-2•
n
2
2
con m y n de distinta paridad. Así, 2n = m . Por consiguiente, m es par -o
2
2
2
sea, m = 2m'- y n impar. Luego, 2n = 4m • Es decir, n = 2m' y n sería par.
2
por reducción al absurdo, a imágenes de objetos matemáticos ab-
solutamente «ideales». Como ya hemos visto, una demostración
requiere establecer que los objetos matemáticos construidos son
correctos. Sin embargo, el método de la reducción al absurdo su-
pone admitir inicialmente, como si fuesen reales, la existencia de
objetos matemáticos. Luego se demuestra que este supuesto es
incorrecto, es decir, supone la construcción de objetos inconstrui-
bles. Este problema solo puede superarse aceptando que, de al-
guna manera, el proceso de la construcción se realiza en el ámbito
«ideal» de las figuras. Pensemos, por ejemplo, en un círculo y una
recta: o se cortan en dos puntos, o en uno, caso de la tangencia, o
no se cortan. Si se cortan en dos puntos, estos puntos «existen»
en el «ideal geométrico» o, si se prefiere, en «la metodología
geométrica».
Así, por ejemplo:

Libro I, proposición 6. Si un triángulo tiene dos ángulos
iguales, los lados opuestos también son iguales.

58 LA ESTRUCTURA DE LOS «ELEMENTOS»