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l. Las rectas AB y CD se cortan en
e el punto E (enunciado).
2. Queremos ver que los ángulos
A~ B <.AED y <CEE son iguales.
3. Los pares de ángulos <CEE y
~D <CEA; <CEA y <.AED suman,
respectivamente, dos ángulos
rectos (Libro I, proposición 13).
4. Luego los pares de ángulos <CEE y <CEA; <CEA y <AED,
juntos, son iguales (postulado 4 y noción común 1).
5. Si quitamos, de ambos pares, el ángulo <CEA, los ángulos
resultantes <CEE y <.AED son iguales (noción común 3).
QED.

Observemos el recurso a definiciones, proposiciones ya de-
mostradas, nociones comunes y postulados. Con ellos, mediante
un proceso de concatenación de construcciones y de enunciados
llegamos a lo que se demanda a partir de lo que se propone. Y ob-
servemos la enorme eleg'.311cia de dichas demostraciones que pro-
viene de su simplicidad.
Pero Euclides no siempre recurría a la demostración directa;
a veces precisaba de un método indirecto de demostración: la re-
ducción al absurdo. En dicho método se postula lo contrario de
lo que se quiere establecer -aquí el maestro Euclides y el alumno
«lector» deben estar de acuerdo- y, razonando, se llega a una
proposición y su negación, un resultado inadmisible. En conse-
cuencia, el postulado inicialmente aceptado es falso, y su contra-
rio -que es lo que se quiere demostrar- es cierto. He aquí un
presupuesto «lógico» que no se explicita nunca: de dos sentencias
opuestas -una es la negación de la otra- necesariamente una es
cierta, y la otra, falsa. Aunque Euclides no explicitara en ningún
momento el método de la reducción al absurdo, lo utilizó muchí-
simo. Este método de demostración, difícilmente justificable por
análisis, es esencialmente aristotélico y pertenece al ámbito de la
síntesis.
Llegados a este punto, consideremos ahora un nuevo ejemplo
en que se observa cómo Euclides recurría, en las demostraciones

56 LA ESTRUCTURA DE LOS «ELEMENTOS»