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Partes de un teorema
Sobre una recta dada construir un triángulo
Prótasis (Enunciado)
equilátero.
Ékthesis (Exposición) Sea AB una recta dada.
Diorismós Debemos construir un triángulo equilátero
(Determinación) sobre AB.
Kataskeue Con centro en A y radio AB trazamos
,,-ti~,, la circunferencia OAB (postulado 3).
(Construcción)

/ / \ \ Con centro en 8 y radio BA trazamos
I I \ \ la circunferencia OBA (postulado 3).
1 A B 1
1 1 1 1
1 1 / / Desde el punto C, intersección de ambas
' ' / / circunferencias, tiramos las rectas CA y CB
' .... - - '>-..., - - ,,,. (postulado 1).
Puesto que el punto A es el centro de
la circunferencia OAB, CA es igual a AB
(definición lS). Análogamente, puesto que B
es el centro de la circunferencia OBA. BC es
Apódeixis igual a BA (definición 15). Pero cosas iguales
(Demostración)
a una misma cosa son iguales entre sí (noción
común 1). Por lo tanto, CA es también igual
a CB. Por consiguiente, las rectas AB, CB, CA
son iguales.

Syumpérasma Por lo tanto, el triángulo t:,.ABC es equilátero
(Conclusión) y hemos construido lo que queríamos. QED.

mostración recurre a la definición 15, a la noción común 1, y a los
principios mínimos de lógica. Cabe notar que la suposición de la
existencia del triángulo equilátero t::,,ABC proporciona muchas
intuiciones tanto para la construcción como para la demostración
y ejemplifica el uso del análisis; en este caso muy simple. La de-
mostración, sintética, también se puede intuir de la imagen
«ideal», pues en ella los lados son asimismo iguales y «forman» un
triángulo. En otros casos, esto será mucho más complicado como,
por ejemplo, en el caso del pentágono regular.
La proposición primera es. «un elemento» -en sentido
débil- de la proposición siguiente, que permite llevar un «seg-
mento congruente con uno dado a un punto dado» -¡el compás

54 LA ESTRUCTURA DE LOS «ELEMENTOS»