Page 49 - 20 Euclides

tiene dos acepciones: la débil, cuando adopta la forma de un lema
previo ( como, por ejemplo, Libro I, proposición 1 respecto del
Libro I, proposición 2), y lafuerte, que incluye solo las definicio-
nes, las nociones comunes y los postulados. Es precisamente por
este sentido fuerte por el que el texto de Euclides adquiere toda la
legitimidad para llamarse Elementos, si bien responde también a
la forma débil, ya que, una vez establecidos los principios, la obra
se estructura deductivamente con un alto nivel didáctico.
Por esta razón los Elementos no contienen la totalidad de re-
sultados geométricos conocidos sino solo los que constituyen la
base de desarrollos ulteriores. En este sentido, supera a otros Ele-
mentos que los precedieron. Los geómetras como Arquímedes,
Apolonio, Eratóstenes, Ptolomeo, Papo o Proclo los toman como
referente básico de la tarea matemática. De este modo el Libro I ha
adquirido, además, un contenido epistemológico muy relevante.
La estructura del libro, como ya se ha dicho, es básicamente
aristotélica. De las nociones comunes (véase la tabla) - recorde-
mos: verdades autoevidentes- , nos fijaremos en cinco y sí cabe
en una sexta. Aluden a la relación de índole cuantitativa de la
igualdad y de la desigualdad. Son válidas para las magnitudes
geométricas, los números naturales y las razones. Su rango de
validez es, pues, más amplio que el estricto de la geometría y,
de hecho, son conceptualmente anteriores si nos atenemos al pro-
ceso metodológico-discursivo.

Nociones comunes
l. Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
2. Si a cosas iguales añad imos cosas iguales, los totales son iguales.
3. Si de cosas iguales quitamos cosas iguales, los restos son iguales.

[3b. Si, en cambio, les añadimos cosas desiguales, los totales son
desiguales.] Esta noción común aparece solo en algunas ed iciones.
4. Las cosas que se superponen son iguales.
5. El todo es mayor que la parte.
[6. Dos rectas no contienen espacio.] Esta noción común aparece solo
en algunas ed iciones.

LA ESTRUCTURA DE LOS «ELEMENTOS» 49