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PROBABILIDAD Y PERMUTACIONES
El cálculo de probabilidades en la teoría de Boltzmann, al menos para un
número pequeño de combinaciones, se puede comprender con matemáticas
elementales. Se basa fundamentalmente en la llamada «función factorial», que
se denota por un signo de exclamación y se define de la siguiente manera:
n ! = n · (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) · ( ... ) · l,
donde n es un número cualquiera. Es decir, 3! es 3 · 2 · l = 6, y 5! es 5 · 4· 3 · 2 · l = 120.
Supongamos que tenemos un conjunto den bolas de colores. Queremos saber
cuál es el número de combinaciones posibles sin que se repita ninguna de ellas.
Empezaremos por un número reducido de bolas y luego complicaremos la
situación añadiendo más. Con tres bolas, de color rojo (R), azul (A) y negro
(N), las diferentes combinaciones posibles, obtenidas por ensayo y error, son:
RAN, RNA, ARN, ANR, NRA, NAR.
Las seis combinaciones se pueden obtener de otra manera más elegante. Si
uno considera la primera posición, se puede escoger entre tres bolas, mientras
que en la segunda solo quedan dos opciones y, en la tercera, una. Así pues, la
cantidad de opciones es 3 · 2 · l = 6. En el caso de n bolas de distintos colores,
este método es fácilmente ampliable. Para la primera tenemos n opciones,
para la segunda solo quedan (n - 1) y así sucesivamente. La expresión final es:

n · (n -1) · (n - 2) · (n - 3) · ( ... ) · l = n!,
que es la función factorial definida antes. Sin embargo, esta expresión no es
válida si varias bolas son del mismo color. En este caso, muchas combinaciones
serán equivalentes, ya que no habrá forma de distinguir entre las bolas que
sean iguales. Para dar cuenta de ello, hay que dividir por todas las posibles
combinaciones entre las bolas del mismo color; es decir, se consideran primero
todas las combinaciones posibles si las bolas fueran distinguibles y luego se
eliminan aquellas en las que esa hipótesis no es aplicable. Si existen n, bolas
del color 1, n del color 2, y así hasta el color p, el número total de combina-
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ciones queda como:
n!
P =------
n1! ·n2! ·n3! .. .nP!
Esta fórmula es la misma que se usa para un conjunto de moléculas donde
el número de partículas es n y las diferentes energías posibles van de 1 hasta
p. El razonamiento que se aplica es exactamente el mismo y es el que usó
Boltzmann en su artículo de 1877 para calcular el número de complexiones
compatibles con una cierta distribución.

PROBABILIDAD, DESORDEN Y ENTROPÍA 87