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EL NÚMERO e Y LOS SOMBREROS

Jakob Bernoulli no solo se topó con la constante e en el interés compuesto;
un acertijo, o más bien, un problema de probabilidades y sombreros, le hizo
moverse en torno a e. Pierre Raymond de Montmort (1678-1719) y Jakob Ber-
noulli se enfrentaron al siguiente enigma: N invitados asisten a una fiesta y
entregan sus sombreros al criado en el vestíbulo. Todo estaba preparado para
guardarlos cuidadosamente en cajas etiquetadas de antemano, evitando los
errores de pertenencia, pero a última hora enferma el criado encargado del
asunto y tiene que ser sustituido por otro, que desconocedor de la identidad
de los invitados, va disponiendo los sombreros al azar en las cajas. El proble-
ma acontece cuando los visitantes se van y el criado les entrega un sombrero.
Unos recibirán el suyo y otros no. ¿cuál es la probabilidad del desastre total,
es decir, de que ningún sombrero vaya a parar a su dueño? La respuesta es:
1 1 1 (-l)N
PN = 1-1! + 21- + ... + N!,
31
una magnitud que se parece mucho a la suma cuyo limite es e. De hecho, su
limite es precisamente 1/e. Si la fiesta es multitudinaria y N muy grande:

PN _ ..!_ _ 36,79%.
e
====-=-=-!l!Zll:!11!:J-----------·
1

ritmos era una cuestión de tiempo, y su lento paso concluyó en
1731, corno ya hemos mencionado, con la carta de Euler a su
corresponsal Goldbach. A partir de entonces y en especial en
una serie de artículos escritos de 1736 en adelante, Euler llamó
oficialmente e a la constante, la identificó, relacionó el límite de
Jakob Bernoulli con los logaritmos, dio de estos una definición
moderna, otorgó a e su lugar corno base de los logaritmos natu-
rales y, en una palabra, llevó a e a la inmortalidad, calculando
incluso sus primeras 18 cifras decimales posiblemente mediante
la suma directa de los veinte primeros términos de una serie
descubierta por él mismo:

1 1 1
.
e= 1+-+-+-+ ..
1! 2! 3!

50 SERIES, CONSTANTES Y FUNCIONES: EULER EN RUSIA