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LOS CENTROS DE UN TRIÁNGULO
Se llama centro de un triángulo a todo punto P que desde el punto de vista
geométrico es poseedor de una propiedad privilegiada en referencia a deter-
minadas líneas (alturas, medianas, bisectrices, etc.) y define circunferencias
u otras figuras sencillas, sujeto de propiedades curiosas relacionadas con el
triángulo de partida. Esta sería una definición muy vaga si no se añadiera la
condición de que P fuera invariante respecto de simetrías, rotaciones y dilata-
ciones. Un ejemplo de tales centros de un triángulo son los ya clásicos baricen-
tro, ortocentro, circuncentro e incentro. Pero hay muchos más centros. El artí-
culo de Euler sobre los centros de un triángulo provocó la sorpresa entre los
geómetras, quienes creían haberlo dicho casi todo de los puntos privilegiados
de un triángulo; en su época y años posteriores los geómetras descubrieron
muchos centros más. De hecho, en la actualidad hay webs especializadas en
la enumeración y estudio de tales centros, como la Clark Kimberling's Ency-
clopedia of Triangle Centers, que menciona más de 3 500 puntos.
Además, se da otra relación relativa a las distancias:
d (CE,O) = d (CE,C).
«La naturaleza de algunos de sus más sencillos descubrimientos
es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides
diciendo "Pero ¿cómo no se me ocurrió?".»
- H.S.M. COXETER EN RELACIÓN AL TRABAJO DE EULER.
Como cabe suponer, los centros de un triángulo no constitu-
yeron el único centro de interés geométrico de Euler. Se podrían
citar muchos otros temas, pero hay uno que destaca por su gran
dificultad, sin comparación posible con lo simple del enunciado.
En 1751, Euler propuso por carta a Goldbach lo siguiente:
averiguar, dado un polígono convexo cualquiera de n lados, el
número de modos de dividirlo en n-2 triángulos mediante diago-
nales que no se corten y si diferentes orientaciones se cuentan
separadamente.
94 BERLIN, CAPITAL DEL ANÁLISIS
