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EL HOTEL DE HILBERT
El matemático alemán David Hilbert (1862-1943) concibió una historia ficticia
que sirve para ejemplificar una de las consecuencias de la teoría de Cantor,
conocida como la historia del hotel de Hilbert. Imaginemos, dijo Hilbert, un
hotel en el que hay infinitas habitaciones designadas respectivamente con los
números 1, 2, 3, 4, 5, ... y que en cada habitación hay una persona, a quienes,
para mayor comodidad, identificaremos también con los números 1, 2, 3, 4,
5, ... En un momento dado llega al hotel un nuevo cliente, al que llamaremos
persona O, pero en la recepción le dicen que no podrán alojarlo porque todas
las habitaciones están ocupadas y además una regla del hotel establece que
dos personas no pueden ocupar una misma habitación. Parece que la persona
O tendrá que irse, pero entonces alguien propone la siguiente solución: que
la persona O ocupe la habitación 1, que la persona 1 pase a la habitación 2, la
persona 2 pase a la 3, y así sucesivamente. De este modo, la persona O puede
ingresar en el hotel y nadie se queda sin alojamiento:

Personas Habitaciones
o
2
2 3
3 4
4 5
1
5 6
.............

Traducida al lenguaje matemático, esta historia demuestra que la colección
de los números O, 1, 2, 3, 4, ... es coordinable con la colección formada por los
números 1, 2, 3, 4, 5, ... En realidad, un argumento similar al que se muestra en
la historia permite probar que cualquier colección infinita a la que se le haya
agregado un elemento nuevo es coordinable con la colección original.

nimo de «cociente» o «división», y como este nombre sugiere, los
números racionales son aquellos que se pueden escribir como el
cociente de dos números enteros ( a estos cocientes se les llama
también «fracciones»).

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