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infinitas en acto no valen siempre las mismas reglas que para las
colecciones finitas. Los cuadrados están incluidos entre los natu-
rales, pero al mismo tiempo ambas colecciones tienen el mismo
cardinal y ello no implica paradoja alguna.
Basado en estas reflexiones, algunos años más tarde, el mate-
mático alemán Richard Dedekind (1831-1916) propuso una defini-
ción alternativa del infinito en acto. En lugar de tomar el concepto
negativo según el cual una colección es infinita cuando no es fi-
nita, Dedekind propuso definir la idea de colección infinita en acto
mediante una propiedad positiva.
Para Dedekind, una colección infinita en acto debía definirse
como aquella que es coordinable con alguna parte de sí misma
(propiedad que, en efecto, tienen todas las colecciones infinitas
en acto y solamente ellas). La idea de Dedekind fue aceptada y su
definición es la que se usa en la actualidad en los trabajos sobre
el infinito matemático.
En capítulos posteriores veremos cómo la teoría de Cantor
responde a las objeciones de Aristóteles tratadas en el capítulo
anterior y cómo Cantor, el ser humano, se enfrentó a la cuestión
religiosa planteada por san Agustín.

ENTEROS Y RACIONALES

Sigamos avanzando en el estudio de las ideas que estaban implíci-
tas en el artículo de Cantor de 1874. Ya sabemos que la colección
formada por todos los números naturales es coordinable con la
colección de los números cuadrados. Pasemos ahora a considerar
los enteros.
La colección de los números enteros incluye a los naturales y
también a los números negativos -1, -2, -3, -4, ... Sucede que esta
colección, como la de los cuadrados, también es coordinable con
los naturales. Para probarlo, bastaría con mostrar una correspon-
dencia uno-a-uno entre ambas colecciones.
Supongamos que emparejáramos al O consigo mismo, al 1 con
el -1, al 2 con el - 2, al 3 con el - 3, y así sucesivamente:

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