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sarse como la parte de la recta numérica comprendida entre dos
números a y b. Para Weierstrass, en cambio, un segmento era
directamente la colección (infinita en potencia) de los números
reales entre a y b; el concepto geométrico de segmento ni siquiera
aparecía en sus razonamientos. La noción de límite, por ejemplo,
aunque nosotros la hemos asociado a segmentos y rectángulos,
W eierstrass la expresaba completamente en términos de opera-
ciones numéricas.
Esto se debe a que a lo largo del siglo XJX el cálculo se fue
alejando cada vez más de su base geométrica hasta descartarla
completamente; un proceso largo y difícil, considerando que hasta
ese momento la geometría clásica griega había sido la base indis-
cutible de todo razonanúento matemático. En la historia de las
matemáticas, este proceso se conoce como la «aritmetización del
cálculo» y consiste, entonces, en el reemplazo de los razonanúen-
tos de tipo geométrico ( que trataban con objetos esencialmente
estáticos) por razonamientos basados exclusivamente en fórmu-
las y en números, particularmente en los números reales (que per-
mitían razonamientos «dinámicos», como exigía, por ejemplo, la
idea de límite). Por lo tanto, para que el cálculo tuviera una base
lógica sólida a toda prueba se necesitaba ante todo una definición
lógicamente rigurosa de los números reales, una definición que a
su vez careciera de todo concepto geométrico.
¿ Qué son los números reales? Decíamos en el capítulo ante-
rior que la propiedad esencial de los números reales, la propiedad
que los define y caracteriza, es el hecho de que completan toda la
recta numérica, es decir, el hecho de que a cada punto de la recta
le corresponde un número real, así como a cada número real le
corresponde un punto de la recta. Pero, a finales del siglo XIX,
esta definición no era satisfactoria porque, como ya hemos co-
mentado, se buscaba una definición de los números reales que no
apelara a conceptos geométricos. Pero, ¿cómo se puede expresar
el hecho de que completan toda la recta sin hablar de «recta» ni
de «punto»? Esta pregunta constituye el llamado «problema del
continuo» ( «continuo» era el término que se usaba en aquella
época para referirse a la recta numérica), y en la segunda mitad
del siglo XIX llegó a ser una cuestión central del cálculo.

EL CÁLCULO Y EL INFINITO 87